Este proyecto está enfocado a maremotos generados por terremotos que provocan una deformación principalmente vertical del suelo marino y transmiten energía al agua. Es por esto que es necesario conocer la física de los terremotos con un enfoque energético, aunque no se entrará en profundidad, será suficiente para cumplir con el objetivo del proyecto.
Física de los terremotos.
En los años 60 ocurrió una revolución en la geología, gracias a los distintos datos recopilados durante cuatro décadas nació la teoría de placas. Esta teoría plantea que la corteza terrestre está formada por placas que están mutuamente acopladas. Los terremotos son mecanismos para acomodar estas placas, una placa se desliza sobre la otra en órdenes de milímetros por año a un ritmo relativamente gradual para luego liberar toda la tensión acumulada en terremotos, con deslizamientos del orden de metros por segundo ( Kanamori y Brodsky, 2004).
Para modelar el problema físico se usará el modelo cinemático que consiste en describir el deslizamiento en la falla mediante la dislocación elástica. Se considera la situación de la figura 1 izquierda, un deslizamiento en una superficie, como no hay fuerza externas el momento lineal y angular se conserva.De esta manera, el sistema de fuerzas que respeta estas codiciones se muestra en la figura 1 derecha (Kanamori y Brodsky, 2004). Así el momento de cada pareja de fuerzas es:
M0=DS(Nm)
Donde es el módulo de rigidez del material, Des el desplazamiento relativo entre los dos extremos de la falla, Sel área de la superficie de la falla. En la figura 1 se puede observar gráficamente la fórmula.
Se han desarrollado muchas técnicas para obtener el momento M0a partir de datos satelitales, geológicos y otros, pero no se ahondará más en ello debido a que no es el objetivo de este proyecto.
Transmisión de la energía desde suelo
marino al agua.
El terremoto
genera deformaciones residuales en el suelo marino, estas deformaciones
residuales se deducen de los parámetros del terremoto y están dadas por
estudios geológicos, en los cuales no se profundiza porque no es el objeto de
estudio de la mecánica de fluidos.
En la situación
real las deformaciones en el suelo marino provocan perturbaciones en el agua.
El efecto de la transmisión de la energía desde el suelo al agua depende de los
siguientes factores:
- La profundidad de la dislocación.
- El mecanismo y el ángulo de movimiento
del suelo marino.
- La intensidad del terremoto.
- La compresibilidad del agua a grandes
profundidades.
- Efectos no lineales.
- Deformación horizontal y su
transmisión de momento al agua.
- La compleja dinámica de la
deformación del suelo marino.
- Estratificación del agua
- Rotación de la tierra
Debido a la
complejidad de este fenómeno y para efectos de nuestro modelo se desprecian
varios de estos puntos, por lo tanto estará alejado de la realidad.
Se
consideran las siguientes suposiciones:
- El fondo marino sólo se produce un
desplazamiento vertical de corta duración y gran magnitud.
- Se considera el agua como
incompresible e ideal.
- La profundidad de la dislocación
- No existe deformación horizontal
- La profundidad del desplazamiento es
baja
- Se desprecia la estratificación y la
rotación de la tierra
De esta
forma se puede decir que la deformación en el fondo marino en nuestro modelo es
igual a la deformación de la superficie del agua, es decir, las deformaciones
se transmiten verticalmente sin pérdidas de energía.
Para su santificación, se tiene un desplazamiento de magnitud nu0, duración t en un área de fondo
marino S provocado por un terremoto. De esta manera la velocidad experimentada
por la superficie es nu0*t.
Para
calcular la energía cinética tenemos la fórmula Ec=0.5mv2. Por lo tanto la
energía cinética de la masa de agua es:
Como el
desplazamiento genera una deformación en la superficie del agua, idéntica a la
del fondo marino, por lo tanto la energía potencial de la deformación en la
superficie está dada por la fórmula Ep=mgh es:
Rho:
densidad del agua
S: Área de
fondo marino en movimiento
H: altura de
la columna de agua
Nu0: desplazamiento
vertical del fondo marino
t: tiempo de
duración del desplazamiento
Según Levin y Nosov la energía cinética es despreciable frente a la energía potencial, esto se debe a la compresibilidad, también se puede despreciar el efecto del giro de la tierra y las deformaciones horizontales.
La propagación de la onda en el agua
Si se cumple
que la profundidad del agua es mucho menor que la longitud de onda (H<<lambda) entonces las velocidades horizontales son mayores que las
verticales, por lo tanto se pueden despreciar estas últimas.
Para aguas
poco profundas, una aproximación es considerar el agua como incompresible, lo
cual no se cumple para aguas profundas.
Se puede
usar la ecuación de Euler (3.1), tomando en cuenta la fuerza de gravedad sobre
el agua y la fuerza de Coriolis. Además se usa la ecuación de continuidad
(3.2):
g: aceleración de gravedad
p:
presión
rho:
densidad del fluido
v: velocidad
del fluido
w: vector de
velocidad angular de la rotación de la tierra
La
divergencia se puede escribir como:
La fuerza de Coriolis en el plano vertical se puede despreciar, si se compara la componente vertical de esta fuerza es muy pequeña con respecto a la fuerza de gravedad. Por lo tanto se puede considerar que el movimiento del fluido solo está a la fuerza de gravedad.
Además, se pueden despreciar las aceleraciones y velocidades verticales de las partículas del fluido, porque son menores a las aceleraciones horizontales y verticales cuando la profundidad es menor a la longitud de onda del tsunami. Por lo tanto esta aproximación se cumple para aguas poco profundas.
Si se
integra esta ecuación desde un punto z hasta un punto de la superficie libre se
tiene:
Donde épsilon
es el desplazamiento de la superficie libre y Patm es la presión atmosférica.
Luego las
componentes horizontales de la ecuación de Euler son:
De estas ecuaciones se concluye la base de la teoría de onda larga, las velocidades horizontales son independientes de la coordenada vertical.
Finalmente, las fórmulas lineales que provienen de las ecuaciones de Euler y describen la dinámica del tsunami son:
Donde nu describe el movimiento del suelo marino, epsilon describe la deformación de la superficie del agua, fv, fu son las componentes horizontales de la fuerza de coriolis y H es la profundidad.
Se asume un fluido ideal (mu=0), con la velocidad v constante, flujo incompresible, no turbulento y régimen permanente. Todo esto se cumple para aguas someras, en el caso de aguas más profundas estos supuesto no son válidos.
Para efectos de nuestro modelo, en donde el tsunami viaja distancias relativamente cortas, y considerando que el tsunami no transporta masa, se puede despreciar la fuerza de Coriolis dado que ésta afecta al movimiento de masa y es pequeña. Con esto se tiene la ecuación anterior en forma vectorial:
Pero se puede expresar la velocidad como:
Se sustituyen las dos ecuaciones en:
De aquí se concluye que la velocidad de propagación de la onda está dada por:
Cálculo del run-up o punto de máxima altura de inundación
Hay variadas formas de calcular el run-up, tanto con fórmula como por simulación. Igualmente estos dos enfoques están muy vinculados, y el de simulación es necesario para calcular el de fórmula. Aquí se explicará una forma por fórmula, la cual es fácil y rápida.
La fórmula del run-up es:
n = B [A(0)PS]
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